In questo capitolo affronteremo il problema di trovare una immersione
con M pari a 
nel caso riemanniano o pari a 
nel caso lorenziano,
comunque presi con le relative metriche canoniche. 
di 
e richiediamo che la superfice parametrizzata
da 
in M abbia una metrica indotta pari ad una assegnata metrica su
.
Il caso riemanniano, quando si cerca una immersione in , viene
trattato e risolto su [&make_named_href('',
"node19.html#sp3","[SK3]")] nel caso in cui le componenti della
metrica siano funzioni analitiche e la curvatura sia strettamente minore di
zero o strettamente maggiore di zero. Purtroppo le soluzioni fornite su
[&make_named_href('',
"node19.html#sp3","[SK3]")] sono difficili da calcolare esplicitamente ed il calcolo
dell'immersione per via numerica risulta essere di non facile soluzione
anche nei casi più semplici. Oltretutto il metodo usato per ricavare
l'immersione illustrato su [&make_named_href('',
"node19.html#sp3","[SK3]")] è applicabile solo al caso
riemanniano e non sembra facilmente adattabile al caso lorenziano (quando
l'immesione è in ), e quest'ultima situazione ha un interesse maggiore
per l'obiettivo che ci prefiggiamo di raggiungere con questa tesi. Siamo
stati quindi costretti a cercare un'altro approccio al problema e tale che
fornisse delle soluzioni adeguate alle nostre esigenze. In questo capitolo
descriveremo come ciò sia stato realizzato.
Nella sez.1.1 illustreremo dettagliatamente il problema che ci prefiggiamo di risolvere, il quale sarà poi riformulato, in maniera che dimostreremo equivalente, nella sez. 1.3, teorema 1.33. Dalla nuova formulazione si ottengono delle equazioni (cfr. sez.1.4, teorema 1.39) da cui è possibile calcolare delle soluzioni simboliche esplicite (cfr. sez. 2.1) quando la metrica da immergere risulta essere espressa in una forma particolare. In caso di metriche generiche dimostreremo (sez. 1.2) che possiamo comunque far uso della nuova formulazione che permetterà una buona trattazione numerica del problema.
Il procedimento che illustreremo, benchè originariamente studiato per il caso lorenziano, si è visto essere facilmente adattabile al caso riemanniano, ed estremamente simile in entrambi i casi; quindi nelle spiegazioni che seguono faremo sempre riferimento, se non diversamente specificato, al caso lorenziano, riportando le differenze per il caso riemanniano, dove presenti, tra parentesi in grassetto `( )', come nel seguente esempio:
... l'interpretazione geometrica in
=== Nel caso di differenti espressioni e/o equazioni indicheremo esplicitamente a quale dei 2 casi ci riferiamo, o, dove non ci sia pericolo di confusione, riporteremo prima le espressioni/equazioni per il caso lorenziano, seguite da quelle per il caso riemanniano, riportate in caratteri tipografici di dimensioni inferiori, ad esempio:
Vogliamo trovare una immersione:
===
===
Si farà frequente uso del simbolo 
che indicherà sempre il segno della
metrica dello spazio tridimensionale in cui viene fatta l'immersione e sarà
nel caso lorenziano 
mentre nel caso riemanniano sarà 
. Per
indicare l'indice della metrica utilizzeremmo il simbolo 
che sarà
pari a 1 nel caso lorenziano e 0 nel caso riemanniano, detto altrimenti
. Questa notazione permette di scrivere molte espressioni
nella stessa forma indipendentemente che si riferiscano al caso lorenziano
o riemanniano. Usando questa notazione la precedente doppia espressione
diventa:
Vogliamo trovare una immersione:
Quando non ci sarà rischio di ambiguità, dato il massiccio utilizzo di funzioni nidificate (composizione multiple di funzioni), per indicare una funzione
useremo riportare per brevità solo `f', sottintendendo la dipendenza dalle
indicando con 
delle
variabili generiche da cui dipende f.