1.2.1 Coordinate iperboliche/polari generalizzate.

Definizione  1.1   Una geodetica di una varietà differenziale S è una curva

il cui campo vettoriale è paralello, detto altrimenti l'accelerazione della curva è nulla.

Corollario  1.2 Sia con una carta per S. Una curva in è una geodetica di S se e solo se le sue coordinate

soddisfano

.

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

Il teorema di esistenza e unicità delle equazioni differenziali ordinarie ci dà il seguente risultato:

Lemma  1.3 Se esiste un intervallo I di 0 ed un'unica geodetica

tale che e .

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

Lemma  1.4 Siano geodetiche. Se esiste un numero tale che , allora .

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

Proposizione  1.5 Dato un vettore tangente esiste un'unica geodetica

tale che:

1. La velocità iniziale di è v, ovvero
2. Il dominio I di è il più largo possibile. Quindi se è un'altra geodetica con velocità iniziale v, allora e

è detta geodetica massimale.

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

D'ora in poi quando parleremo di geodetiche intenderemo sempre parlare di geodetiche massimali, se non specificato altrimenti.

Definizione  1.6   Una varietà differenziale S si dice geodeticamente completa o semplicemente completa se ogni geodetica massimale è definita su tutto .

Esempio  1.7 [Geodetiche in ]   Consideriamo con la metrica cannonica lorenziana o euclidea. In questo caso i simboli di Christoffel sono nulli e dunque l'equazione che dà le geodetiche si riduce a:

ottenendo con e costanti arbitrarie. Immediata conseguenza è che le geodetiche non costanti di , considerato con la relativa metrica canonica, sono le rette.

Lemma  1.8 Sia una geodetica non costante. Una riparametrizzazione è ancora una geodetica se e solo se h(t)=at+b.

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

Lemma  1.9 Sia v un vettore tangente ad S, . Allora esiste un intorno di in TS e un intervallo I intorno a 0 tale che la mappa definita da:

è ben definita e differenziabile.

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

Proposizione  1.10 Esiste un campo vettoriale G in TS tale che se è la proiezione canonica vale:

ovvero detto altrimenti esiste una biiezione tra le curve integrali (massimali) di G e le geodetiche (massimali) di S.

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

Definizione  1.11   Se , sia l'insieme dei vettori v in tali che la geodetica inestensibile è definita almeno nell'intervallo reale [0,1]. La mappa esponenziale di S in o è la funzione

tale che .

Naturalmente è il più grande sottinsieme di sul quale può essere definita, ed è immediato che se S è completo nel senso della def. 1.6, allora .

Osservazione  1.12   Osservando l'equazione delle geodetiche (cfr definizione 1.1) si vede che deve valere:

e quindi si ha una corrispondenza tra le rette attraverso l'origine di e le geodetiche di S passanti per o.

Proposizione  1.13   Per ogni punto o di S esiste un intorno di 0 in per il quale la mappa esponente è un diffeomorfismo con intorno di o in S.

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")] pg. 70.

Definizione  1.14 Con riferimento alla proposizione precedente, se è anche stellato, allora è detto intorno normale di o.

Proposizione  1.15   Se è un intorno normale di , allora esiste un'unica geodetica

da o in p tutta contenuta in . Inoltre vale .

Dimostrazione Cfr. [&make_named_href('', "node19.html#onl","[ON]")].

 
Figura 1.2: Coordinate normali su S. 

Della seguente proposizione riportiamo anche la dimostrazione dato che è fondamentale per sviluppare alcuni metodi di diagonalizzazione.

Proposizione  1.16   Sia S varietà differenziale bidimensionale, la sua metrica, o un punto di S, allora per ogni intorno normale di o esistono delle coordinate tali che soddisfano:

1. 
2. .

Le coordinate costruite nella dimostrazione sono dette coordinate normali.

Dimostrazione Sia una base ortonormale per , sia la relativa base duale canonica. Consideriamo

e pongo

Dato che per la proposizione 1.13 è un diffeomorfismo, le sono ben definite e è una carta per S.

Se vale , tenendo conto dell'osservazione 1.12 possiamo scrivere:

e dunque

Prendendo si ottiene e quindi vale la (i). A questo punto l'equazione delle geodetiche data dalla definizione 1.1 si riduce a

ed in particolare:

che implica sia verificata la (ii).

Esempio  1.17 Nell'esempio 1.7 abbiamo visto che la geodetica con velocità iniziale è la retta e quindi

.

 
Figura 1.3: Coordinate Iperboliche su  

Proposizione  1.18   Con riferimento alla figura 1.3, se , ed è una base ortonormale di , scelto a piacere, le funzioni definite (funzione definita) come

===

=== definiscono nel caso lorenziano una parametrizzazione dei punti dei coni , delimitati dalle rette (escluse):

mentre nel caso riemanniano è una parametrizzazione dei punti del piano con esclusione del punto 0. Inoltre, fissato un certo le funzioni appena definite risultano invertibili su:

===

=== con la semiretta dei numeri reali positivi non nulli e la semiretta dei numeri reali negativi, 0 compreso.

Dimostrazione Il caso riemanniano è elementare, essendo le coordinate date da le ben conosciute coordinate polari del piano. Per il caso lorenziano dobbiamo far vedere che , è una parametrizzazione dei punti dell'i-esimo cono escludendo le rette:

che nel caso lorenziano sono i sottospazi vettoriali di contenenti i vettori di tipo nullo. Analizziamo solo il caso che ci interessa maggiormente, il caso del cono costituito dai vettori di tipo tempo, ovvero il cono di colore grigio indicato con I in figura 1.3, il caso del cono è perfettamente analogo.

Dalla definizione si vede che è sicuramente continua e di classe su tutto , dobbiamo solo mostrare che all'interno del cono è invertibile. Per far questo prendiamo un vettore contenuto in e mostriamo che esiste un'unica coppia

per cui vale

 

Se vogliamo che la 1.2 sia verificata si deve avere:

Quindi ricavando si ottiene

Se v sta nel cono si deve avere che e quindi l'espressione che dà è ben definita e di classe su tutto il cono . Per quanto riguarda si deve avere:

e dunque, tenendo conto che , e che ha lo stesso segno di viene:

che è sul cono .

Ora abbiamo gli strumenti necessari per dare la seguente definizione:

Definizione  1.19  

Sia una base ortonormale di , o un punto scelto a piacere di S, allora le mappature geodetiche iperboliche (mappatura geodetica polare) sono le funzioni (funzione):

===

=== Chiameremo mappatura geodetica iperbolica temporale, mappatura geodetica iperbolica spaziale e mappatura geodetica polare.

Osservazione  1.20   Notare che l'osservazione 1.12 applicata alla precedente definizione ci dice

===

=== e dunque tenendo presente che in 0 la metrica di S è pari a quella lorenziana (euclidea) canonica e che l'accelerazione di una geodetica è nulla, si ha:

===

===

 
Figura 1.4: Coordinate Iperboliche temporali su S. 

Proposizione  1.21   Se è un intorno normale del punto o di S, poniamo, con riferimento alla figura 1.4:

===

=== allora le mappature geodetiche della definizione 1.19 sono dei diffeomorfismi se ristrette a:

===

===

Dimostrazione Scelto intorno normale di o in S, la proposizione 1.13 ci da che è un diffeomorfismo tra un intorno di 0 in e un intorno di o in S. La proposizione 1.16 afferma che scelto esistono delle coordinate su che producono una base ortonormale in e quindi si può applicare la proposizione 1.18. Da quest'ultima otteniamo in particolare che che (analogo discorso vale per ) è un diffeomorfismo tra e il cono (bordi esclusi) di figura 1.3 e dunque , restringendo a e a , risulta composizione di diffeomorfismi, ed è a sua volta un diffeomorfismo tra:

Infine se è un diffeomorfismo lo sarà anche la sua inversa e risulta essere una carta per S. c.v.d.

Il caso riemanniano è del tutto simile.

Proposizione  1.22  

La metrica riscritta secondo le coordinate prodotte dalla mappatura geodetica lorenziane ed euclidea è della forma:

mentre con è della forma:

Dimostrazione Dimostriamolo per , il secondo caso lorenziano e il caso riemanniano sono perfettamente analoghi.

La situazione in cui ci troviamo è quella riportata in figura 1.4. Calcoliamo E tenendo conto dell'osservazione 1.20 e che le curve a costante sono le geodetiche:

e vale anche sempre per l'osservazione 1.20:

Calcoliamo F

quindi F è costante lungo le geodetiche. Inoltre è costantemente 0, in particolare è 0 e dunque dato che come funzione F è definita su tutto :

e dato che lungo le geodetiche è costante F risulterà nulla su tutto .

Dato che non abbiamo fatto altro che un cambio di coordinate, la metrica dovrà essere ancora non singolare ed avere lo stesso indice, quindi deve essere:

Nel caso lorenziano non troviamo un vero e proprio intorno di o in cui la metrica è definita ed in forma diagonale, ma piuttosto troviamo dei coni con origine o che si sviluppano nel tempo o nello spazio. Se vogliamo avere, ad esempio, un intorno di o che si sviluppi nel tempo, ci basta prendere un intorno normale di o e un punto che stia su una qualsiasi geodetica di tipo tempo passante per o e trovo le coordinate iperboliche centrate su p, in questo modo conterrà o e cosìho trovato l'intorno cercato.

L'unico problema per calcolare effettivamente le mappature geodetiche sta nel trovare le geodetiche passanti per P. Questo problema e' difficile da risolvere, ma numericamente dà origine a sistemi di equazioni differenziali ordinarie che si sanno trattare e quindi non dà problemi ottenere una approssimazione numerica di .