1.3 Riformulazione del problema

 

Il sistema 1.1 può essere riscritto, dato che e,g sono strettamente positivi, nella forma:

Manteniamo e non sostituendoci 1 perchè dato che capita spesso di avere metriche già in forma diagonale, ci sono buone possibilità di poter applicare direttamente i metodi risolutivi che illustreremo senza dover prima diagonalizzare come illustrato nella sezione 1.2. La prima equazione di questo sistema mi dice che il vettore , nel caso lorenziano ( ), identifica un punto, che al variare di , mi rimane sempre sulla superfice di un iperboloide di equazione implicita . Nel caso riemanniano ( ) il punto identificato da mi rimane su una sfera di raggio unitario e di equazione .

Analogo discorso per la terza equazione ed il vettore . La seconda equazione mi dice semplicemente che i due vettori e sono perpendicolari fra di loro (in con il prodotto scalare relativo) per ogni contenuto nel dominio di definizione di , , .

Quanto detto deve valere per qualunque possibile soluzione del sistema 1.1 definita su . Queste considerazioni ci suggeriscono una riformulazione di carattere vettoriale:

Teorema  1.33 [di Equivalenza]  

Data una metrica definita sul rettangolo di :

dalla matrice:

con , ; Se esistono due applicazioni

che soddisfano :

 

con:

 

Allora esiste una soluzione:

del sistema:

 

ed è data da:

 

con fissati a piacere , e .

Viceversa se soddisfa il sistema 1.5 ed ha derivate seconde continue, allora le due funzioni:

soddisfano le equazioni 1.3, 1.4.

Dimostrazione ) Le forme:

risultano essere chiuse per la condizione imposta sulle derivate parziali di R e V dall'eq. 1.4 delle ipotesi. Dato che siamo in un dominio rettangolare, che è in particolare un dominio stellato, le forme oltre che chiuse sono anche esatte e quindi ha senso definire:

con le costanti , , scelte a piacere e naturalmente vale , ovvero:

Esaminando le tre equazioni del sistema e tenendo conto che valgono le equazioni 1.3 e le 1.4 si ottiene:

Quindi il sistema è risolto da come definita sopra.

) Viceversa se soddisfa il sistema 1.5 ed ha derivate continue, allora definiamo le funzioni , come:

È immediato verificare che R,V soddisfano le equazioni 1.3 del teorema dato che soddisfa per ipotesi il sistema 1.5, per quanto riguarda la seconda richiesta sulle funzioni R,V data dall'equazione 1.4 delle ipotesi, osserviamo:

Ma dato che per ipotesi ha derivate seconde continue segue che vale:

e quindi R,V definiti precedentemente soddisfano anche l'equazione 1.4 delle ipotesi.

 
Figura 1.7: Ramo di iperboloide. 

Una delle condizioni per poter applicare il teorema di equivalenza, è che deve valere nel caso lorenziano:

Affinchè ciò sia vero, R deve variare sulla superfice di un iperboloide di equazione , e dato che R deve essere continua, segue che i possibili valori di R sono confinati sulla superfice di un'unico ramo dell'iperboloide (fig. 1.7).

Avendo R arbitrario sappiamo, se vogliamo che l'eq. 1.3 del Th. di Equivalenza siano verificate, che V dovrà stare su un piano perpendicolare ad R, e variare, nel caso lorenziano, su un ramo di iperboloide di equazione:

tipo quello di fig. 1.8.

Nel caso riemanniano R e V dovranno soddisfare rispettivamente:

e quindi sono confinati a variare su una sfera tipo quella di fig. 1.9, 1.10.

 
Figura 1.8: Ramo cilindrico di iperboloide. 

 
Figura 1.9: Sfera unitaria per R. 

 
Figura 1.10: Sfera unitaria per V. 

 
Figura 1.11: Angoli . 

Queste considerazioni ci suggeriscono la definizione seguente: Definizione  1.34  

Facendo riferimento alla figura 1.11, fissato un vettore R e un vettore V giacente su un piano perpendicolare a R, definiamo:

1. è l'angolo tra il vettore R e l'asse .
2. è l'angolo tra l'asse e la proiezione P sul piano del vettore R.
3. Un piano perpendicolare al vettore R e passante per l'origine. Contiene V.
4. Un piano passante per e R.
5. Un vettore Q ottenuto dall'intersezione tra il piano e il piano e di direzione opposta a p.
6. Un angolo tra il vettore Q e il vettore V.

Ricordando le relazioni trigonometriche e trigonometriche iperboliche fondamentali:

 

enunciamo:

Proposizione  1.35  

Siano funzioni arbitrarie a valori in . Ponendo R uguale a:

===

=== e V uguale a:

===

=== allora valgono, qualunque sia il valore assunto da , le equazioni 1.3 del Teorema di Equivalenza, ovvero:

La dimostrazione si potrebbe effettuare brutalmente calcolando i prodotti scalari e sostituendo le espressioni di R e V nei due casi, tenendo conto che valgono le relazioni 1.7. L'inconveniente di questo tipo di dimostrazione è che mentre per R è evidente come è stato ottenuto (non è altro che la parametrizzazione di un ramo di iperboloide o di una sfera), per V non è altrettanto evidente. Per questo adotteremo una dimostrazione di tipo costruttivo per V mentre per R ci limiteremo a fare delle semplici verifiche.

Dimostrazione Verifichiamo la validità dell'espressione di R nel caso lorenziano:

e nel caso riemanniano:

Esaminiamo ora V. Deve valere, riportando come al solito in caratteri di dimensioni inferiori il caso riemanniano:

===

=== quindi V deve variare su un ramo di iperbolide (sfera) tipo quello di fig. 1.8 (fig. 1.9) analogamente a quanto deve fare R, con in più la condizione che V deve essere perpendicolare a R.

Prendendo la definizione 1.34 per i , e tenendo presente la figura 1.12 mostriamo come si possa ricavare l'espressione di V. Il caso lorenziano è del tutto simile al caso riemanniano quindi riporteremo le differenze, ove presenti, tra parentesi o in caratteri tipografici di dimensioni inferiori.

 
Figura 1.12: Vettori R e V. 

Divido V come somma delle proiezioni lungo la retta del vettore e la retta di intersezione tra i piani e che sarà lungo il vettore . Indicando con il vettore unitario lungo tale retta e con verso uguale a W. Vale:

ha solo componenti lungo e , e dato che la proiezione di su è pari a ( ), si ha:

===

=== La proiezione di sul piano ha modulo pari a ( ) che ha componenti:

===

=== mentre le componenti di sono:

sostituendo nell'espressione di V:

===

===

Osservazione  1.36 Per soddisfare le condizioni 1.3, pg. del Teorema di Equivalenza non abbiamo dovuto imporre nessuna restrizione sulle dato che le 1.3, pg. vengono soddisfatte automaticamente per qualunque valore assunto dalle se R e V sono nella forma data dalla precedente proposizione 1.35.

Ora l'unica altra condizione che dobbiamo soddisfare per poter applicare il Th. di Equivalenza è trovare degli opportuni funzioni di affinchè si verifichi:

con R e V nella forma data nella precedente proposizione 1.35 e funzioni dipendenti in maniera derivabile da a valori in . Questa condizione mi imporrà delle equazioni che dovranno essere soddisfatte dalle affinchè possa essere applicato il Teorema di Equivalenza per trovare l'immersione.

Questo problema verrà trattato nella prossima sezione e ci fornirà le equazioni equivalenti al sistema 1.1, pg. , equivalenti nel senso che le soluzioni delle nuove equazioni mi daranno modo di ricavare una soluzione del sistema 1.1 mediante l'applicazione del Teorema di equivalenza.