Figura 1.1: Diagramma immersione-carta
La notazione introdotta in questa sezione verrà mantenuta per tutto questo capitolo.
Sia S una varietà differenziale bidimensionale (cfr fig.
1.1). 
una sua carta, con 
aperto
di S e 
di componenti:
Su 
prendiamo un sistema di coordinate 
con la metrica canonica definita in forma di matrice come:
dove 
come illustrato nell'introduzione.
Indichiamo il relativo prodotto scalare associato a M con
definito come:
dove v,w sono due vettori colonna di .
Facendo riferimento alla figura 1.1, consideriamo una generica
immersione 
dell'aperto di S in :
e sia 
l'immagine di . Sia
e 
. 
risulterà essere un'immersione dell'aperto 
di 
in
. Naturalmente è un'immersione se e solo se lo è anche
, dato che è una carta (cfr. [&make_named_href('',
"node19.html#onl","[ON]")]).
Con 
indichiamo, il jacobiano di sotto forma di matrice:
che avrà rango due dato che è un'immersione e dunque stabilisce
puntualmente un isomorfismo, 
,
tra gli spazi vettoriali bidimensionali:
L'isomorfismo cosìprodotto fa sìche la metrica canonica di induce
canonicamente una metrica su , che grazie alla carta
è anche una metrica su , definita puntualmente
come:
questo esprimendo i vettori di 
secondo la base
data dalla carta di S.
Che 
sia ben definito come prodotto scalare non degenere
deriva direttamente dalla teoria della geometria differenziale elementare
(cfr. [&make_named_href('',
"node19.html#onl","[ON]")]) e dal fatto che ha rango due essendo una
immersione. Usando per comodità, dato il basso numero di dimensioni,
l'usuale notazione matriciale, si ha:
===
adottando le classiche assegnazioni per le lettere E,F,G:
possiamo indicare più comodamente:
Abbiamo già osservato che 
è definito,
differenziabile e di rango due su tutto , quindi anche la metrica
associata alla matrice:
risulterà essere definita, differenziabile e non singolare su tutto
.
Riassumendo, in questa sezione abbiamo visto che immergendo l'aperto
della carta di una varietà differenziale bidimensionale in ,
considerato con la metrica canonica costante M, si induce naturalmente
una metrica 
sull' aperto di partenza. In questo capitolo
vogliamo risolvere il problema inverso:
Assegnata una certa metrica con matrice
di indice 
( 
o 
) su un aperto ,
carta di una varietà differenziale bidimensionale S,
trovare una immersione isometrica di in ,
detto altrimenti, una immersione tale che la metrica indotta su
dalla metrica canonica di sia uguale alla metrica
assegnata, ovvero trovare un'immersione 
di un
aperto di una varietà differenziale bidimensionale S in
e tale che su sia indotta la metrica quando si usano
le coordinate date dalla carta .
Questo equivale a dire, cercare una soluzione su 
,
:
del seguente sistema:
Dato che mediante un cambio di coordinate opportuno (cfr. sez. 1.2) qualunque metrica del tipo
può essere ridotta nella forma diagonale con
, con e=1
,
al posto del precedente sistema cercheremo invece di risolvere il
sistema:
In generale per un sistema di equazioni non lineare alle derivate parziali del primo ordine del tipo 1.1 non si conoscono soluzioni elementari. Anche la risoluzione semplicemente numerica è problematica data la correlazione non lineare delle derivate parziali. Noi ci accontentiamo di trovare una sola soluzione, anche locale, al sistema 1.1 e non abbiamo restrizioni sulle condizioni iniziali. Anche tenendo conto di queste semplici richieste, non si conoscono soluzioni elementari al sistema 1.1.
Nella sezione 1.3 mostreremo come si può riformulare il problema per ottenere equazioni più facilmente trattabili dal punto di vista numerico e, per casi particolari non banali, come si possono trovare soluzioni simboliche.
