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2.1 Immersione metriche decomponibili

Definizione 2.1

Sia una metrica definita su un aperto di con coordinate indicate con (t,x) e le componenti della metrica abbiano una dipendenza da (t,x) del tipo:

con e(t), f(t) funzioni continue strettamente positive dipendenti esclusivamente da t, f(t) derivabile ed entrambe definite sull'intervallo reale , c(x) funzione continua strettamente positiva dipendente esclusivamente da x e definita sull'intervallo reale . la chiamiamo Metrica decomponibile.

Se siamo nel contesto della definizione 2.1, è possibile trovare delle soluzioni esplicite alle 1.12, pg. (1.13, pg. ) ipotizzando che le soluzioni in abbiano la forma:

con e funzioni incognite e dipendente solo e soltanto dalla variabile t e dipendente solo e soltanto dalla variabile x.

Facendo queste ipotesi e sostituendo nel sistema 1.12 (1.13) si ottiene:

===

=== da cui, sapendo che dipende solo da t e che dipende solo da x, siamo obbligati ad avere:

===

=== Con una costante non nulla. Definendo per comodità:

Definizione 2.2

In entrambi i casi, lorenziano e riemanniano, poniamo:

che risulterà una funzione definita su tutto , continua, e costante non nulla.

Facendo uso di questa definizione potremo scrivere più brevemente:

===

=== Nel caso lorenziano è facile trovare una soluzione, infatti è facile vedere che soluzioni per 2.3 sono:

con fissato, valore iniziale scelto a piacere. Nel caso riemanniano (equazione 2.4) possiamo ricavare tranquillamente essendo l'equazione relativa uguale a quella del caso lorenziano, ottenenedo:

Per quanto riguarda la determinazione dell'angolo sorgono spontaneamente due problemi:

Problema 2.3 La funzione varia tra [-1,1] e quindi la prima equazione delle 2.4

avrà soluzione solo per valori di compresi in [-1,1]

Figura 2.2: Funzione .

Problema 2.4 La funzione è definita come funzione inversa della funzione solo tra gli intervalli:

e si ha, sempre per definizione di :

e in generale non è derivabile nei punti in cui (cfr fig. 2.1) o, equivalentemente, .

Quando vogliamo calcolare nel caso riemanniano dalle equazioni 2.3 otteniamo efettivamente solo il valore di e, come vedremo, ci serve conoscere una determinazione differenziabile di , ma a causa di quanto esposto, se lo calcoliamo mediante l'uso della funzione , otteniamo una funzione che potenzialmente è non derivabile nell'insieme, possibilmente vuoto:

ed in questi punti il sistema 1.13 potrebbe non essere definito, e l'insieme viene suddiviso in tante componenti conesse quanti sono gli elementi di più uno e su ognuna sono definite soluzioni potenzialmente differenti. La situazione ideale che voremo avere è quella di conoscere un'unica soluzione definita su tutto in modo che una volta immerso in risulti essere un'unica superfice conessa.

Soluzione problema 2.3 Il problema causato dalla limitazione della funzione è facilmente agirabile, infatti essendo , per valori di non nulli, una funzione continua sul compatto , segue che possiede minimo e massimo, e quindi, se non è costantemente nulla, scegliendo in modo che soddisfi:

si ha evidentemente che per questi valori di la funzione assumerà valori solo nell'intervallo [-1,1].

Figura: Funzione .

Soluzione problema 2.4 Per risolvere questo problema, o troviamo con metodi euristici una funzione che soddisfa la prima equazione delle 2.4 (cfr. esempio 2.9) e definita su tutto o ci accontentiamo nel caso riemanniano di una soluzione locale definita in intervalli del tipo

che sono tali che, con soddisfacente la condizione data dalla 2.7, calcolata su un intervallo J soddisfacente la condizione 2.8, assume valore 1 o -1 al più agli estremi dell'intervallo. Notare che se è una componente conessa di , la chiusura soddisfa la condizione data da 2.8.

Volendo, come soluzione alternativa, si potrebbe anche scegliere

avendo così per e quindi non si passerebbe mai per i punti di possibile non derivabilità di corrispondenti ai punti dove cambia di segno, e quindi avrebbe segno costante per ogni . Parliamo di punti di possibile non derivabilità perchè se consideriamo ad esempio la funzione , nel punto la funzione è nulla ma è derivabile in tale punto, infatti nell'intorno di non cambia di segno, cfr. figura 2.2

Teoricamente per via numerica si può anche risolvere il problema 2.4 se si conosce l'insieme , infatti basta far cambiare segno alla funzione ogni volta che si attraversa un punto e perchè se fosse zero componendola con la funzione valore assoluto non si introducono discontinuità nella derivata prima perchè la derivata destra e sinistra di in a sarebbe zero e quindi derivabile in un intorno di a

Concludendo, riguardo alle soluzione di 2.4 per il caso riemanniano, possiamo dire, eventualmente restringendo l'intervallo in cui varia la variabile t ad un intervallo che soddisfa le condizioni della 2.8, (cfr. discussione problema 2.4): ===

=== Con costanti arbitrarie.

Ora che abbiamo delle soluzioni al sistema 1.12, pg. (1.13, pg. ) possiamo applicare il Teorema dell'immersione. Calcoliamo l'espressione di e tenendo conto che le equazioni 2.3 (2.4) ci danno direttamente il valore di ( ) e che

===

=== Ottenendo, tenendo presente le note fatte per il problema 2.4 riguardo il dominio di definizione e di derivabilità per il caso riemanniano di e :

===

=== o più brevemente, ponendo nel caso riemanniano e nel caso lorenziano:

Per quanto rigurda V in entrambi i casi si ha:

Dal teorema di immersione abbiamo che l'immersione è data da

con fissato e condizione iniziale. Tenendo conto della definizione 2.2 di e che e(t)>0 abbiamo:

Nel caso riemanniano può essere più comodo avere la componente espressa come

Per quanto riguarda la componente di ottenuta da V:

da cui, ricordando che dalle 2.9 si ha , i due integrali che danno saranno:

Con , condizione iniziale scelta a piacere. Inoltre se si conosce definita su tutto e soluzione di 2.4, possiamo scrivere:

Sostituendo i risultati intermedi nell'espressione di otteniamo, con fissato:

Nel caso lorenziano puo fare più comodo esprimere la componente come

Riassumiamo quanto detto in questa sezione in un unico teorema:

Teorema 2.5 [Immersione per metriche decomponibili]

Sia un aperto di del tipo , un punto fissato. Sia una metrica decomponibile definita su e le coordinate siano indicate simbolicamente con . espresso in forma matriciale sia:

Ponendo

con costante reale non nulla con la richiesta che nel caso riemanniano soddisfi la condizione:

Allora, ponendo , nel caso lorenziano la funzione definita per componenti come:

è un'immersione isometrica locale di in .

Inoltre nel caso riemanniano se è un intorno soddisfacente

Si ha, ponendo , che la funzione ===

=== è un'immersione locale di in . Se inoltre si conosce una funzione definita e derivabile su tutto con

allora la componente diventa:

e cosìdefinita è un'immersione isometrica locale per in .

Dimostrazione Ovvia da quanto detto in questa sezione, comunque per verifica mostriamo che la metrica indotta da è propio la metrica cercata. Deriviamo per x e t tenendo conto che :