3.1 Funzioni in NImmersion.m

 

Descriviamo l'utilizzo delle funzioni contenute nel pachetto NImmersion.m. Per esempi guardare nel disco in allegato. Il codice Mathematica è riportato usando i Font Courier. Il parametro indicato opts, dove presente, rappresenta le opzioni supportate dalla funzione ed è facoltativo.

ND[data,h,opts]

Calcola la derivata numerica di una funzione. La funzione è data come una sequenza di valori in assunti in punti successivi ognuno dei quali distante di h dal precedente. Le opzioni supportate sono:

ND[data,opts]

Come la precedente solo che la funzione da derivare è data come una sequenza di coppie .

MakeData[f,x,{xmin,xmax},opts]

Restituisce una approssimazione numerica di f nell'intevallo nella forma richiesta dalla funzione ND[data]. Opzioni supportate:

HaccaK1[t,cet,cct,k1]

Calcola la funzione (cfr. sez. 2.1 per una metrica decomponibile di componenti , .

OptimizeDelta[f,x,{xmin,xmax},maxinc,opts]

Restituisce una coppia di valori , a è il numero di punti in cui suddividere l'intervallo affinchè la funzione f[x] abbia un incremento inferiore a maxinc quando x varia meno di b. Opzioni supportate:

ImmersionDecomponible[cet, ccx, cct,{t, x},{a,b},sur,fbb,opts]

Restituisce l'immersione di una metrica decomponibile di componenti , , con le condizioni iniziali e .

Opzioni supportate:

ListIntegrate2[data, h, k]

Calcola l'integrale di un funzione f data come una lista di valori assunti dalla funzione f su una successione di punti distanti di h l'uno dall'altro. Il risultato è restitutito come una lista di valori assunti dall'integrale di f su punti distanti h l'uno dall'altro. L'integrale calcolato nel primo punto è sempre nullo. L'integrazione è eseguita interpolando con polinomi di grado k i dati data in ingresso.

ListIntegrate2[data, k]

Analoga alla funzione precedente, con la differenza che la funzione f da integrare è data come una lista di coppie

Restituisce l'integrale nella stessa forma.

EFGComponents[sur,t,x,ep]

Calcola le componenti della metrica della superfice per i=1,2,3. Restituisce una lista di tre elementi contenente le componenti E,F,G. ep è .

Kurvature[e,g,{t,x},ep]

Calcola la curvatura della metrica diagonale con , , .

ColorStretched[v,s]

Restituisce una direttiva grafica di colore dipendente da v. s regola l'associazione colore-valore. v e s può variare nell'intevallo chiuso .

PlotLegend[vmin,vmax,off,s,npoints]

Disegna come varia il colore dato dalla funzione ColorStretched[v,s] per che varia tra vmin e vmax. npoints è la risoluzione usata.

InverseCosSin[a,b]

a e b sono due liste di elementi e che rappresentano l'approssimazione numerica di due funzioni a(y) e b(y) continue. La funzione InverseCosSin[a,b] restituisce una lista con la proprietà che e e la differenza è minima tra tutte le possibili con .

ConstrainAngle2[a,p]

Prende l'angolo a e restituisce una coppia con e . p è la precisione con cui effettuare i calcoli.

ConstrainAngle1[a,p]

Prende l'angolo a e restituisce un un numero con un multiplo di e . p è la precisione con cui effettuare i calcoli.

ParametricListPlot3D[sur1,sur2,sur3,opts]

sur1, sur2, sur3 sono delle matrici che rappresentano l'approssimazione numerica di una funzione calcolata su una griglia . opts sono le opzioni di Graphics3D che si vuole abbia la grafica generata.

ParametricListPlot3D[sur1,sur2,sur3,col,opts]

Come la funzione precedente solo è possibile specificare un matrice aggiuntiva col contenente una serie di primitive grafiche da associare ad ogni poligono disegnato.

ThetaInit[ep,g,{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},opts]

Calcola le condizioni iniziali per applicare l'algoritmo per il caso generale. , . Si assume . Opzioni supportate:

thetax[th0,th2,th1t,th2t,gt,g,ep]

Resituisce una lista con , calcolati a , , , , , , .

RVector[th0,th1,ep]

I parametri hanno lo stesso significato della funzione precedente. Viene restituita una lista di tre elementi contenenti le componenti del vettor R.

VVector[th0,th1,th2,ep]

Come la precedente funzione, solo che viene restituito il vettore V.

ImmersionOf[g,{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},th,ng,delta,ep,opts]

I parametri in ingresso di questa funzione sono , gli intervalli in cui varia t e x, , e le opzioni facoltative opts. Il resto dei parametri devono essere dei simboli a cui verranno assegnati i risultati. th sarà un lista di tre matrici che rappresentano la soluzione numerica ai sistemi 2.22, 2.23 dopo aver applicato l'algoritmo illustrato nella sezione 1.4. ng conterrà la matrice rappresentante l'approssimazione numerica effettuata sulla griglia della componente g(t,x) delle metrica, delta è una lista di 2 elementi che prenderanno il valore, rispettivamente, della distanza di due punti della griglia lungo t e lungo x. Opzioni supportate:

ImmersedSurface[th,ng,{tdelta,xdelta},ep,k,sur,opts]

I parametri th,ng, tdelta, xdelta sono i risultati della funzione ImmersionOf[], , k è il parametro da passare alla funzione ListIntegrate2 indicante il grado dei polinomi da utilizzare nell'interpolazione della funzione da integrare. sur è un simbolo a cui verrà assegnato il risultato consistente in una lista di tre matrici rappresentanti un'approssimazione numerica dell'integrale 1.6, pg. del Teorema di Equivalenza, ovvero una rappresentazione numerica della superfice con metrica . Le opzioni supportate sono le stesse della funzione precedente.

PlotImmersionError[sur1,sur2,sur3,ng,ep,{tdelta,xdelta},opts]

sur1, sur2, sur3 sono le componenti della lista sur restituita dalla precedente funzione, tdelta, xdelta , ep, ng hanno lo stesso significato della funzione precedente, e sono restituiti da essa. opts sono le opzioni di Graphics3D che vogliamo abbia la grafica prodotta. Questa funzione disegna tre superfici che indicano la differenza tra le componenti della metrica della superfice approssimata da sur e le componenti della metrica che si vuole immergere.

ImmergiEdisegna[ep,g,{t,tmin,tmax},ntpoints,{x,xmin,xmax},nxpoints,k,

nome] Esempio di utilizzo delle funzioni presenti in questo pacchetto per rappresentare una superfice di metrica colorandola in base alla curvatura. Viene anche disegnata una leggenda che indica il legame curvatura-colore e tre superfici rappresentanti l'errore nelle 3 componenti. nome è il nome del file in cui salvare, come primitive Graphics3D[], la superfice sup generata, la legenda leg dei colori per la curvatura, il disegno dell'errore err[[1]] su E , l'errore err[[2]] su F e l'errore err[[3]] su G, l'espressione simbolica di e il valore di k, xmin, xmax, tmin, tmax.

ImmergiEdisegnaBatch[ep,g,{t,tmin,tmax},ntpoints,{x,xmin,xmax},nxpoints,k,

nome] Come la funzione precedente, solo che la grafica invece che essere visualizzata viene salvata su disco sia in formato postscript sia in formato RPL.

Sul disco è contenuto anche il pacchetto RPLScript.m che abbiamo sviluppato basandoci sul pacchetto TreeScript.m della versione 2.03 di Mathematica. Definisce la funzione RPLScript[nome,grs] che prende una primitiva grafica grs di tipo Graphics3D[] e salva in nome un oggetto descritto in linguaggio RPL (cfr. [&make_named_href('', "node19.html#rpl","[RPL]")]) adatto ad essere letto dal programma Real3D. Una versione demo per il sistema operativo AmigaDOS, utilizzata per creare alcune animazioni del disco in allegato, è prelevabile da uno qualsiasi dei nodi aminet (in italia Go Aminet Server. Oltre al notebook t1.m di esempio di uso delle funzioni di Nimmersion.m è presente anche un notebook Equazioni.m che contiene, in codice mathematica, tutto il procedimento illustrato nel capitolo 1 e 2 di questa tesi. Si consiglia comunque di guardare nel disco in allegato il file ReadMe.txt per un'elenco più dettagliata di ulteriori programmi di utilità ivi contenuti e sviluppati per realizzare questa tesi. Download RPLScript.ma